Он родился до войны в Новосибирске. Мать работала врачом в железнодорожной школе. Отец - инспектор железнодорожных школ, участник финской кампании - в 1943 году погиб при освобождении Украины.
В пятидесятые Борис Александрович получил диплом инженера путей сообщения, электромеханика. Как и мечтал, по распределению приехал из Сибири на Магнитогорский металлургический комбинат. В 1961 году начал работать на ЖДТ комбината помощником машиниста электровоза. Получив права машиниста, трудился во главе бригады механиков электровозного депо в должности мастера. В 1964 году переведён старшим инженером в производственно-технический отдел управления ЖДТ. Работал мастером участка контактной сети в цехе подвижного состава, начальником паровозно-тепловозного депо, машинистом электровоза, заместителем начальника производственно-технического отдела управления ЖДТ, в 1992 - начальником технического отдела управления ЖДТ.
Борис Моллер отдал железнодорожному транспорту ММК почти сорок лет, проявил себя новатором. Так, с его участием удалось преодолеть серьёзную производственную проблему: на ММК возили электровозами тяжёлые сдвоенные поезда, и многие рейсы заканчивались выходом из строя электровозов из-за поломки тяговых двигателей. Борис Александрович разработал правила тяговых и тормозных расчётов и тормозные номограммы, в кратчайший срок позволяющие определить тормозной путь в зависимости от профиля железнодорожного пути и тормозного обеспечения поезда. Эти нормы на ММК применяют до сих пор, а в ту пору опыт переняли ещё и железнодорожные подразделения Министерства черной металлургии СССР.
На протяжении всей профессиональной биографии Борис Моллер занимался общественной работой: его избирали секретарём партийного бюро, профгрупоргом аппарата управления ЖДТ и грузовой службы, физоргом дома молодых специалистов, председателем совета молодых специалистов ЖДТ. Выйдя на пенсию, Борис Александрович десять лет возглавлял совет ветеранов железнодорожников.
Очень увлечён садом, на основе селекции вывел свой сорт яблони. Его "мичуринский" стаж - более сорока пяти лет. В последние годы увлёкся моржеванием, что вполне ожидаемо для человека со множеством спортивных достижений: второй разряд по беговым конькам, велосипедному спорту, первый - по лыжам. Долгие годы Борис Александрович увлекался альпинизмом, получил звание "Альпинист СССР", сдал экзамены на звание яхтенных капитанов.
Семья во всём поддерживает Бориса Александровича. Брак четы Моллеров насчитывает более пятидесяти лет. Дети во многом переняли отцовский активный характер. Дочь Татьяна работала преподавателем в школе № 58. Сын Александр - доцент, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой МГТУ имени Г. И. Носова. В детстве семья заложила в характер Бориса Александровича энергию и целеустремлённость. Восемьдесят лет - на протяжении всей трудовой и личной биографии - он делится этими качествами с окружающими. Жизненные достижения подтверждают правильность этой позиции.